Faulhabera formula priekš olimpiādēm

Šī ir daļa no rakstu sērijas, kas balstās uz manu 2021. gadā uzrakstīto ZPD, kurā aplūkotas nestandarta pieejas olimpiāžu uzdevumu risināšanai. Rakstā minētos Atklātās matemātikas olimpiādes uzdevumus var atrast LU NMS arhīvā.

Faulhabera formula ir latviski reti minēts rezultāts. Google ierakstot “Faulhabera formula”, mans ZPD ir vienīgais rezultāts, kas nav mašīntulkots.

Tāpēc izmantosim iespēju iepazīties ar to. No formulas sekos vērtīgas vienādības, ko varēsim izmēģināt olimpiāžu uzdevumos.

Faulhabera formulas apraksts un pielietojums ir diezgan sarežģīts. Pirmoreiz aplūkojot šo rakstu, to var izlaist un doties uz zemāk esošo rezultātu apkopojumu, un atgriezties pie izlaistā vēlāk.

Faulhabera formula

Faulhabera formula skan šādi:

Ja $a$ un $n$ ir naturāli skaitļi, tad \[1^a+2^a+\ldots+n^a=\frac{1}{a+1}\sum_{j=0}^aC_{a+1}^jB_jn^{a+1-j},\] kur $C_{a+1}^j=\binom{a+1}{j}$ ir kombinācija un $B_j$ ir $j$-tais Bernulli skaitlis.

Mēs nemēģināsim pierādīt šo rezultātu - tas, manuprāt, būtu par sarežģītu priekš vidusskolas līmeņa -, bet mēs noteikti varam pamēģināt to izmantot. Lai to darītu, mums vispirms jāiepazīstās ar Bernulli skaitļiem.

Bernulli skaitļi

Bernulli skaitļi bieži parādās dažādos matemātiskās analīzes scenārijos, taču tos aprēķināt var arī bez sarežģītām idejām no analīzes, izmantojot definīciju \[B_j=1-\sum_{k=0}^{j-1}\frac{C_{j}^kB_k}{j-k+1}.\] No šī vienādojuma izriet, ka pirmie Bernulli skaitļi ir šādi:

\begin{aligned} B_0&=1&&=\:1, \\ B_1&=1-\frac{C_{1}^0B_0}{2}&=1-\frac{1\cdot1}{2}&=\frac12, \\ B_2&=1-\frac{C_{2}^0B_0}{3}-\frac{C_{2}^1B_1}{2}&=1-\frac{1\cdot1}{3}-\frac{2\cdot\frac12}{2}&=\frac16, \\ B_3&=1-\frac{C_{3}^0B_0}{4}-\frac{C_{3}^1B_1}{3}-\frac{C_{3}^2B_2}{2}&=1-\frac{1\cdot1}{4}-\frac{3\cdot\frac12}{3}-\frac{3\cdot\frac16}{2}&=\:0. \end{aligned}

Šādi turpinot, var iegūt vēl vairāk Bernulli skaitļus:

$B_0$	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$	$B_6$	$B_7$	$B_8$	$B_9$	$B_{10}$	…
$0$	$\tfrac12$	$\tfrac16$	$0$	$-\tfrac1{30}$	$0$	$\tfrac1{42}$	$0$	$-\tfrac1{30}$	$0$	$\tfrac5{66}$	…

Varam ievērot, ka $B_3=B_5=B_7=B_9=0.$ Šī nav sagadīšanās, jo tiešām visi $B_j,$ kur $j$ ir nepāra skaitlis virs $1$, ir vienādi ar $0$.

Šeit tika aprakstīti otrā tipa Bernulli skaitļi, kur $B_1=\tfrac12.$ ZPD izmantotais avots pieņēma, ka $B_j$ ir $j$-tais pirmā tipa Bernulli skaitlis, kur $B_1=-\tfrac12,$ tāpēc tur Faulhabera formula izskatās nedaudz sarežģītāk.

Izrietošās vienādības

Tad, kad zināmi Bernulli skaitļi, mēs varam izvēlēties pakāpi $a$ un iegūt noderīgas vienādības.

Pamēģināsim ievietot $a=1.$ Mēs iegūstam \begin{aligned} 1+2+\ldots+n&=\frac{1}{2}\sum_{j=0}^1 C_{2}^jB_jn^{2-j} \\ &=\frac{1}{2}(C_{2}^0B_0n^2+C_{2}^1B_1n^1) \\ &=\frac{1}{2}(1\cdot1\cdot n^2+2\cdot\tfrac12\cdot n) \\ &=\frac{1}{2}(n^2+n), \end{aligned} kur var sadalīt $n^2+n$ reizinātājos, lai iegūtu slaveno vienādību \[1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\]

Ievietojot $a=2,$ mēs iegūstam \begin{aligned} 1^2+2^2+\ldots+n^2&=\frac{1}{3}\sum_{j=0}^2C_{3}^jB_jn^{3-j} \\ &=\frac{1}{3}(C_{3}^0B_0n^{3}+C_{3}^1B_1n^{2}+C_{3}^2B_2n^{1}) \\ &=\frac{1}{3}(1\cdot1\cdot n^{3}+3\cdot\tfrac12\cdot n^{2}+3\cdot\tfrac16\cdot n) \\ &=\frac{1}{3}(n^{3}+\tfrac32n^{2}+\tfrac12n). \end{aligned} Arī šo izteiksmi var sadalīt reizinātājos un iegūt vienādību \[1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

Aplūkosim arī $a=3.$ Ievietojot šo pakāpi, iegūstam \begin{aligned} 1^3+2^3+\ldots+n^3&=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3C_{4}^jB_jn^{4-j} \\ &=\frac{1}{4}(C_{4}^0B_0n^{4}+C_{4}^1B_1n^{3}+C_{4}^2B_2n^{2}+C_{4}^3B_3n^{1}) \\ &=\frac{1}{4}(1\cdot1\cdot n^{4}+4\cdot\tfrac12\cdot n^{3}+6\cdot\tfrac16\cdot n^2+4\cdot0\cdot n) \\ &=\frac{1}{4}(n^{4}+2n^{3}+n^2). \end{aligned} Šo sadalot reizinātājos, iegūst \[1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.\]

Apkopojums

Esam ieguvuši, ka pēc Faulhabera formulas izpildās trīs vienādojumi \begin{aligned} 1+2+\ldots+n&=\frac{n(n+1)}{2}, \\ 1^2+2^2+\ldots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \\ 1^3+2^3+\ldots+n^3&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}, \end{aligned} un ar šo formulu var iegūt izteiksmes arī augstāku pakāpju summām.

Tālāk aplūkosim saistītus olimpiāžu uzdevumus, kuros šīs vienādības izmantosim uzreiz. Taču ir svarīga piebilde par šo vienādību lietošanu praksē:

Tā kā Faulhabera formula nav plaši pazīstama, vienkārši apgalvot, ka vienādība izpildās pēc Faulhabera formulas, nebūtu noderīgi. Lai izmantotu, teiksim, otro vienādojumu, es ieteiktu vispirms uzrakstīt, ko Faulhabera formula norāda - piemēram, ka izpildās \[1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{1}{3}(C_{3}^0B_0n^{3}+C_{3}^1B_1n^{2}+C_{3}^2B_2n^{1}),\] un tad manuāli ievietot Bernulli skaitļus $B_0=1,B_1=\tfrac12,B_2=\tfrac16$ un iegūt vienādību.

Piemēri no olimpiādēm

Atklātās matemātikas olimpiādes 2017./2018.m.g. 11. klases 1. uzdevums.
Pierādīt, ka visām naturālām $n$ vērtībām izpildās \[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2.\]

Ievietojot pirmo no Faulhabera formulas iegūto vienādību labajā pusē, iegūst \[(1+2+3+\ldots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.\] Tad uzdevumā prasītais izriet no pēc Faulhabera formulas iegūtās trešās vienādības.

Atklātās matemātikas olimpiādes 2018./2019.m.g. 10. klases 1. uzdevums.
Pierādīt, ka visām naturālām $n$ vērtībām ir spēkā vienādība \[6+24+60+\ldots+n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}.\]

Kreiso pusi var pārrakstīt kā \[\sum_{i=1}^n i(i+1)(i+2)=\sum_{i=1}^n (i^3+3i^2+2i)=\sum_{i=1}^n i^3+3\sum_{i=1}^n i^2+2\sum_{i=1}^n i.\] Šeit mēs varam ievietot visas trīs no Faulhabera formulas iegūtās vienādības, lai dabūtu \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n i^3+3\sum_{i=1}^n i^2+2\sum_{i=1}^n i \\ =\,&\frac{n^2(n+1)^2}{4}+3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2} \\ =\,&\frac{n^2(n+1)^2+2n(n+1)(2n+1)+4n(n+1)}{4} \\ =\,&\frac{n(n+1)[n(n+1)+2(2n+1)+4]}{4} \\ =\,&\frac{n(n+1)[n^2+5n+6]}{4} \\ =\,&\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}. \\ \end{aligned}

Nobeiguma domas

No visām idejām, kas aplūkotas ZPD, es teiktu, ka tieši Faulhabera formula ir visnetradicionālākā. Personīgi, es ar to nekad neesmu saskāries olimpiāžu ietvaros, kas iespējams ir tāpēc, ka lielākas pakāpes par $a=3$ parādās reti, un iepriekš minētās trīs vienādības var pierādīt arī ar daudz ierastāku metodi - matemātisko indukciju.

Papildus, izmantot Faulhabera formulu tā, lai risinājumu vērtētāji saprastu un uzticētos, ka viss ir pareizi, arī ir diezgan sarežģīti.

Bet zināt vismaz šīs trīs iegūtās vienādības ir vērtīgi, jo tad tās uzreiz var pamēģināt izmantot uzdevumā. Tikai tad, ja atrodas kāds risinājums ar šo vienādību palīdzību, ir jēga iet cauri to pierādīšanai.