Polinoma dalīšana ar binomu priekš olimpiādēm

Šī ir daļa no rakstu sērijas, kas balstās uz manu 2021. gadā uzrakstīto ZPD, kurā aplūkotas nestandarta pieejas olimpiāžu uzdevumu risināšanai. Rakstā minētos Atklātās matemātikas olimpiādes uzdevumus var atrast LU NMS arhīvā.

Kā zināms, tādas izteiksmes kā $x^2-7x+10$ un $2x^2+8x+6$ var sadalīt reizinātājos, vispirms nosakot to saknes. Šo divu izteiksmju saknes ir $\{2,5\}$ un $\{-3,-1\}$, tātad tās var pārrakstīt kā $(x-2)(x-5)$ un $2(x+3)(x+1).$

Reizinātājos sadalīt var arī sarežģītākus polinomus, kā $3x^3-4x^2-5x+2.$ Iepazīsimies ar veidu, kā to paveikt, un aplūkosim dažus Atklātās matemātikas olimpiādes uzdevumus, kur tas noder.

Pirms tālākas lasīšanas vērts vēlreiz pārlūkot terminus.

Racionālo sakņu teorēma

Parasti olimpiāžu uzdevumos esošajiem polinomiem ir trīs jaukas parādības: viens mainīgais, veseli koeficienti un vismaz viena racionāla sakne.

Visi veseli skaitļi ir racionāli. Visas daļas, kur vesels skaitlis ir dalīts ar veselu skaitli, ir racionālas. Taču citi skaitļi, kā $\sqrt2$ vai $\pi$, nav racionāli.

Ja šie pieņēmumi par polinomu izpildās, tad mēs varam izmantot racionālo sakņu teorēmu, kas skan šādi:

Ja $\frac rs$ ir polinoma sakne, tad brīvais loceklis dalās ar $r$, un augstākās pakāpes koeficients dalās ar $s$.

Vienkārša piemēra labad aplūkosim to pašu $3x^3-4x^2-5x+2.$ Brīvais loceklis šeit ir $2$, un augstākās pakāpes koeficients ir $3$. Tātad šķiet, ka $r$ ir $1$ vai $2$, tikmēr $s$ ir $1$ vai $3$, līdz ar to $\frac rs$ ir $\tfrac13,\tfrac23,1$ vai $2$.

Taču $r$ un $s$ drīkst būt negatīvi, tāpēc patiesībā ir astoņi racionālu sakņu kandidāti: \[-2,-1,-\frac23,-\frac13,\frac13,\frac23,1,2.\] Mēs varētu aprēķināt $3x^3-4x^2-5x+2$ priekš katra no šiem $x$ un atklāt, ka $-1,\tfrac13,2$ ir visas trīs polinoma saknes. Tātad \[3x^3-4x^2-5x+2=3(x+1)(x-\tfrac13)(x-2).\]

Polinoma dalīšana ar binomu

Bet ne vienmēr visas saknes ir racionālas, un dažreiz kandidātu saraksts ir tik garš, ka atrast vairāk par vienu sakni ir laikietilpīgi.

Aplūkosim $x^3-10x^2+27x-12.$ Pielietojot racionālo sakņu teorēmu, mēs varam uzzināt, ka viena no saknēm ir $4$ un citu racionālu sakņu nav.

Tāpēc pamēģināsim veikt polinoma $x^3-10x^2+27x-12$ dalīšanu ar binomu $x-4$. Viens no īsākajiem veidiem, kā to paveikt, ir šķelt polinoma vidējos locekļus tā, lai iegūtu binomus, kas viegli dalās ar $x-4$.

\begin{aligned} &\,\frac{x^3{\color[rgb]{0.9,0.1,0.3}-10x^2}\quad+27x\quad-12}{x-4} \\ =&\,\frac{ {\color[rgb]{0,0.9,0}x^3-4x^2}\quad-6x^2{\color[rgb]{0.9,0.1,0.3}+27x}\quad-12}{x-4} \\ =&\,\frac{ {\color[rgb]{0,0.9,0}x^3-4x^2}\quad{\color[rgb]{0,0.9,0}-6x^2+24x}\quad{\color[rgb]{0,0.9,0}+3x-12}}{x-4} \\ =&\,\frac{ {\color[rgb]{0,0.9,0}x^2(x-4)}\quad{\color[rgb]{0,0.9,0}-6x(x-4)}\quad{\color[rgb]{0,0.9,0}+3(x-4)}}{x-4} \\ =&\,x^2-6x+3. \end{aligned}

Ir arī citas pieejas, piemēram, šajā video piedāvātā.

Rezultātā iegūstam, ka $x^3-10x^2+27x-12=(x-4)(x^2-6x+3)$. Reizinātāju $(x^2-6x+3)$ var tālāk sadalīt kā $(x-3-\sqrt6)(x-3+\sqrt6)$ ar diskriminanta palīdzību.

Piemēri no olimpiādēm

Atklātās matemātikas olimpiādes 2017./2018.m.g. 11. klases 5. uzdevums.
Vienādojuma $x^3-44x^2+623x-2860=0$ saknes ir trijstūra malu garumi. Aprēķināt šī trijstūra laukumu!

Šajā uzdevumā var izmantot racionālo sakņu teorēmu, lai atrastu visas trīs saknes. Vieglāk ir atrast vienu sakni un tad dalīt, lai ar Vjeta teorēmu noteiktu atlikušās divas.

Abos gadījumos iegūst, ka malu garumi ir $11,13,20$. Tad trijstūra laukumu, kas ir $66$, var ātri iegūt ar Hērona formulu \[\text{laukums}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad\text{kur}~~p=\frac{a+b+c}{2}.\]

Atklātās matemātikas olimpiādes 2016./2017.m.g. 9. klases 5. uzdevums.
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu $x^3+(x+1)^3=(x+3)^3+1$.

Šeit var atvērt visas iekavas un iegūt $x^3-6x^2-24x-27=0$. Pēc racionālo sakņu teorēmas, vienīgie naturālie skaitļi, kas varētu būt vienādojuma atrisinājumi, ir $1,3,9,27$, un no tiem tikai $9$ ir sakne.

Nobeiguma domas

Jāatzīst, ka pēdējo gadu olimpiādēs šī tēma īsti nav parādījusies. Tam varētu būt divi iemesli:

• ZPD tika izveidots 2021. gadā, kas ir pirms Skola2030, un tagad polinoma dalīšana ar binomu ir viena no tēmām priekšmetā Matemātika II.
• Vecākajām klasēm 2022. gadā polinomu dalīšana bija novadu olimpiādes tēma, par kuru tika garantēts vismaz viens uzdevums, un līdz ar to šobrīd nav liela motivācija vai labu ideju, kā tēmu vēlreiz iekļaut.

Taču polinomu dalīšana ar binomiem noteikti ir vērtīga prasme. Kā redzams no uzdevumu piemēriem, ja tā uzdevumā varētu noderēt, tas parasti ir diezgan acīmredzami, un šādus uzdevumus atrisināt uzreiz paliek diezgan vienkārši.