Ptolemaja teorēma priekš olimpiādēm

Šī ir daļa no rakstu sērijas, kas balstās uz manu 2021. gadā uzrakstīto ZPD, kurā aplūkotas nestandarta pieejas olimpiāžu uzdevumu risināšanai. Rakstā minētos Atklātās matemātikas olimpiādes uzdevumus var atrast LU NMS arhīvā.

Ptolemaja teorēma ir salīdzinoši rets, bet kopumā ļoti vienkāršs apgalvojums ģeometrijā. Ātri iepazīsimies ar šo formulu un aplūkosim vienu uzdevumu, kurā to var izmantot.

Ptolemaja teorēma

Ptolemaja teorēmu parasti piedāvā šādi:

Ja $ABCD$ ir ievilkts četrstūris, tad un tikai tad izpildās $AD\cdot BC+AB\cdot CD=AC\cdot BD.$

Tātad, ja ap $ABCD$ var apvilkt riņķa līniju, tad, saskaitot pretējo malu garumu reizinājumus, iegūst diagonāļu garumu reizinājumu. Un otrādi: ja, saskaitot pretējo malu garumu reizinājumus, iegūst diagonāļu garumu reizinājumu, tad ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju.

Piemērs no olimpiādes

Atklātās matemātikas olimpiādes 2016./2017.m.g. 10. klases 3. uzdevums.
Taisnstūrī $ABCD$ caur virsotni $A$ novilkta riņķa līnija, kas nogriežņus $AB$, $AC$ un $AD$ krusto attiecīgi punktos $P$, $Q$ un $R$. Pierādīt, ka \[AB\cdot AP+AD\cdot AR=AC\cdot AQ.\]

Uzdevumā mums principā uzreiz tiek piešķirts ievilkts četrstūris $APQR$, un pierādāmais vienādojums pēc izskata šķiet līdzīgs Ptolemaja teorēmai. Tāpēc šķiet loģiski, ka mēs varētu pielietot \[QR\cdot AP+QP\cdot AR=PR\cdot AQ.\] Pie tam, otrais reizinātājs katrā reizinājumā sakrīt ar pierādāmo, tātad vispirms varam izmeklēt attiecības starp $QR,QP,PR$ un $AB,AD,AC.$

Tā kā $APQR$ ir ievilkts četrstūris, \[\angle RQP=180^\circ-\angle RAP=180^\circ-90^\circ=90^\circ.\] Tad, $\triangle ABC\sim\triangle RQP$ (ll), jo $\angle ABC=\angle RQP=90^\circ$ un $\angle BAC=\angle QRP$, jo abi leņķi balstās uz hordas $PQ.$ No šiem līdzīgajiem trijstūriem izriet, ka $\frac{AB}{QR}=\frac{AC}{PR}.$

Un $\triangle CDA\sim\triangle RQP$ (ll), jo $\angle CDA=\angle RQP=90^\circ$ un $\angle CAD=\angle RPQ$, jo abi leņķi balstās uz hordas $QR.$ No šiem līdzīgajiem trijstūriem izriet, ka $\frac{AD}{PQ}=\frac{AC}{PR}.$

Nodēvējam $\frac{AC}{PR}$ par līdzības koeficientu $k.$ Apvienojot vienādojumus, iegūst \[\frac{AB}{QR}=\frac{AC}{PR}=\frac{AD}{PQ}=k,\] līdz ar to \[QR=\frac{AB}k,~PR=\frac{AC}k,~PQ=\frac{AD}k.\]

Visbeidzot, tā kā $APQR$ ir ievilkts četrstūris, pēc Ptolemaja teorēmas izpildās \[QR\cdot AP+QP\cdot AR=PR\cdot AQ.\] Ievietojot iegūtās izteiksmes šajā vienādojumā iegūst \[\frac{AB}k\cdot AP+\frac{AD}k\cdot PQ=\frac{AC}k\cdot AQ,\] un pareizinot abas puses iegūstam vienādojumu, kuru vēlējāmies pierādīt, \[{AB}\cdot AP+{AD}\cdot PQ={AC}\cdot AQ.\]

Nobeiguma domas

Man vienmēr ir šķitis, ka jaunākajiem olimpiāžu dalībniekiem tieši ģeometrija raisa vislielākās pūles. Ptolemaja teorēma ir diezgan vienkārša, tādēļ šo apgalvojumu ir vērts iegaumēt, ja nu tas kādā uzdevumā izrādās noderīgs. Taču svarīgākais, kā ierasts, ir iegūt pieredzi un risināt dažādus ģeometrijas uzdevumus, piemēram, no arhīviem - tas palīdz visvairāk.