Simsona taisne priekš olimpiādēm

Šī ir daļa no rakstu sērijas, kas balstās uz manu 2021. gadā uzrakstīto ZPD, kurā aplūkotas nestandarta pieejas olimpiāžu uzdevumu risināšanai. Rakstā minētos Atklātās matemātikas olimpiādes uzdevumus var atrast LU NMS arhīvā.

Iepazīsimies ar retu, bet elegantu teorēmu no ģeometrijas: Simsona līniju jeb Simsona taisni.

Simsona taisne

Simsona taisni definē šādi:

Ja no punkta $D$, kas atrodas uz $\triangle ABC$ apvilktās riņķa līnijas, novelk perpendikulus pret taisnēm $AB,BC,CA,$ tad perpendikulu pamati atrodas uz vienas taisnes, ko sauc par Simsona taisni.

Zemāk dota interaktīva diagramma, kur punktu $D$ iespējams bīdīt ap riņķa līniju. Ar biezu sarkanu līniju novilkta Simsona taisne.

Piemērs no olimpiādes

Atklātās matemātikas olimpiādes 2015./2016.m.g. 12. klases 4. uzdevums.
Trijstūrī $ABC$ leņķa $\angle ABC$ bisektrise krusto tam apvilkto riņķa līniju punktā $D$. Nogriežņi $DP$ un $DQ$ ir attiecīgi trijstūru $ABD$ un $BCD$ augstumi. Pierādīt, ka nogrieznis $PQ$ krusto malu $AC$ tās viduspunktā!

Zemāk dota statiska diagramma.

Pēc dotā, $PQ$ noteikti ir Simsona taisne. Ja $M$ ir šīs taisnes krustpunkts ar $AC$, tad $DM\perp AC$. Pieņemot, ka $M$ tik tiešām ir $AC$ viduspunkts, sanāk, ka $DM$ ir gan augstums, gan mediāna trijstūrī $ADC$, kas ir iespējams tad un tikai tad, ja $\triangle ADC$ ir vienādsānu. Tātad varam vispirms mēģināt pierādīt, ka $AD=DC$.

Tā kā $AD$ ir $\angle ABC$ bisektrise, \[\angle ABD=\angle DBC\Longrightarrow\overparen{AD}=\overparen{DC}\Longrightarrow AD=DC,\] tātad $\triangle ADC$ ir vienādsānu.

Punkti $P,Q$ pieder Simsona taisnei pēc tās definīcijas, tātad nogriežņa $PQ$ krustpunktam $M$ ar $AC$ izpildās $DM\perp AC$. Tas nozīmē, ka $DM$ ir trijstūra $\triangle ADC$ augstums, bet tā kā šis trijstūris ir vienādsānu, tā ir arī mediāna un $AM=MC,$ kas bija jāpierāda.

Nobeiguma domas

Simsona taisne olimpiādēs neparādās bieži, un visticamāk vislabāk iederās ļoti atvērtās atlašu sacensībās, kurās varētu būt mērķis pārbaudīt, cik dziļas ir skolēnu teorijas zināšanas.

Labs izaicinājums ir mēģināt pierādīt, ka Simsona taisne šķērso nogriezni $DH$, kur $H$ ir $\triangle ABC$ augstumu krustpunkts, tā viduspunktā. Veiksmi!